Обязаны ли мы называть клиенту свои фамилию и номер телефона

Нет, только имя. А персональные данные третьих лиц разглашать вообще запрещено.

Интересно, на что рассчитывают такие клиенты. Можно ведь любым именем представиться.

Имя на бейдже — и достаточно. Если человек требует больше, пусть пишет обращение: там разберутся, кто работал в смену.

Так и сказала: имя — пожалуйста, остальное через поддержку. Отстал.